本記事では、相反方程式（相反多項式）の解き方について、例題付きで解説しています。
「相反多項式って何？」
「受験で使えるテクニックを知りたい」
そんなみなさまにおすすめの記事となっています。
ぜひご覧ください。
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相反方程式とは？
相反方程式とは、
$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$
のように、係数が左右対称になっている方程式です。
解法のポイント
相反方程式の解き方のポイントは
「$x+\frac{1}{x}=t$ とおく」ことです。
ただし、この操作のためには以下二つの操作を行うことが必要です。
- $x=0$ が解ではないことを確認
- 両辺を左辺中央の項で割る
（$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$ では $x^2$ で割る）
また、方程式の次数が偶数か奇数かによっても若干解き方が変わるので押さえておきましょう。
- パターン１ 次数が偶数（2n次）の場合
$x+\frac{1}{x}=t$ とおいて、tのn次方程式とする - パターン２ 次数が奇数（2n+1次）の場合
式の性質上 $x=-1$ が必ず解となるので、
$x+1$ で因数分解してから
$x+\frac{1}{x}=t$ とおいて、tのn次方程式とする
例題
$2x^4+3x^3+5x^2+3x+2=0$ を解け。
$x=0$ はこの方程式の解ではない
方程式の両辺を $x^2$ で割ると、
$\begin{align}2x^2+3x+5+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}&=0\\2(x^2+\frac{1}{x^2})+3(x+\frac{1}{x})&=0\end{align}$
ここで $t=x+\frac{1}{x}$ とおくと
$\begin{align}2(t^2-2)+3t+5&=0\\2t^2+3t+1&=0\\(2t+1)(t+1)&=0\\t&=-1,-\frac{1}{2}\end{align}$
(i)$t=-1$ のとき
$\begin{align}x+\frac{1}{x}&=-1\\x^2+x+1&=0\\x&=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\end{align}$
(ii)$t=-\frac{1}{2}$ のとき
$\begin{align}x+\frac{1}{x}&=-\frac{1}{2}\\2x^2+x+2&=0\\x&=\frac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}\end{align}$
以上より、
$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2},\frac{-1\pm\sqrt{15}i}{4}$
まとめ
今回は、相反方程式の解き方について解説しました。今回は偶数次の問題のみ取り上げていますが、ぜひ奇数次の問題にも取り組んでみてください。
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