本記事は「漸化式解説シリーズ」の3作目です。今回は、漸化式応用の6パターンのうち残りの3つを紹介します。今回紹介する漸化式パターンも入試頻出ですので、しっかりと理解していきましょう。
前前回の記事（数学B「漸化式 基本の4パターン」完全ガイド）
前回の記事（数学B「漸化式 応用の6パターン」完全ガイド その②）を読んでから続きへ進むのがおすすめです。
「漸化式を得点源にしたい」
「応用問題を解く実力を身に着けたい」
そんなみなさまにおすすめの記事です。
1. $a_{n+1}=p{a_n}^q$ 型
1-1. 解法のポイント
このパターンの漸化式のキーワードは「pを底とする対数をとる」です。
ただし、$a_n\neq0$ の確認が必要です。（真数条件より）
1-2. 例題
$a_1=4 a_{n+1}=4\sqrt{a_n} (n=1,2,3…)$ により
定められる数列の一般項を求めよ。
$a_1\gt0$ および漸化式より $a_n\gt0$ は常に成立する
$\begin{align}a_{n+1}&=4\sqrt{a_n}\\&=4\cdot{a_n}^{\frac{1}{2}}\end{align}$
の両辺を底を2とする対数をとると、
$\begin{align}\log_{2}{a_{n+1}}&=\log_{2}4+\log_{2}{{a_n}^{\frac{1}{2}}}\\\log_{2}{a_{n+1}}&=\frac{1}{2}\cdot\log_{2}{a_n}+2\end{align}$
$\log_{2}{a_n}=b_n$ とおくと
$b_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot{b_n}+2$
（特性方程式型）
$b_{n+1}-4=\frac{1}{2}(b_n-4)$
数列 $b_n-4$ は初項 $-2$ 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので
$\begin{align}b_n-4&=-2\cdot(\frac{1}{2})^{n-1}\\&=-1\cdot(\frac{1}{2})^{n-2}\\b_n&=-1\cdot(\frac{1}{2})^{n-2}+4\\&=4\cdot(1-(\frac{1}{2})^n)\\log_{2}{a_n}&=4\cdot(1-(\frac{1}{2})^n)\\a_n&=2^{4\cdot(1-(\frac{1}{2})^n)}\end{align}$
2. $a_{n+1}=f(n)a_n+q$ 型
2-1. 解法のポイント
このパターンの漸化式のキーワードは「$a_n$ の係数が定数になるように変形」です。
かつ、$b_n b_{n+1}$ と対応する形が作れるようにしましょう。
このパターンでは、特性方程式型や $a_{n+1}=pa_n+f(n)$ 型にして解くことが多いです。
2-2. 例題
$a_1=1 na_{n+1}=3(n+1)a_n (n=1,2,3…)$ により
定められる数列の一般項を求めよ。
$a_n$ の係数が定数かつ $b_n b_{n+1}$ と置き換えられる形にするために、
両辺を $n(n+1)$ で割る$(n\neq0)$ と、
$\frac{a_{n+1}}{n+1}=3\cdot\frac{a_n}{n}$
$\frac{a_n}{n}=b_n$ とおくと
$b_{n+1}=3b_n$
数列 $b_n$ は初項1 公比3 の等比数列なので、
$\begin{align}b_n&=3^{n-1}\\\frac{a_n}{n}&=3^{n-1}\\a_n&=n\cdot3^{n-1}\end{align}$
3. $a_{n+1}=f(n)a_n$ 型
3-1. 解法のポイント
このパターンの漸化式のキーワードは「漸化式を繰り返し使用する」です。
3-2. 例題
$a_1=2 (n+2)a_{n+1}=(n+1)a_n (n=1,2,3…)$ により
定められる数列の一般項を求めよ。
$\begin{align}(n+2)a_{n+1}&=(n+1)a_n\\a_{n+1}&=\frac{n+1}{n+2}a_n\\&=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{n}{n+1}a_{n-1}\\&=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n-1}{n}a_{n-2}\\&=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n-1}{n}・・・\frac{2}{3}a_1\\a_{n+1}&=\frac{2}{n+2}\cdot2\\a_{n+1}&=\frac{4}{n+2}\\a_n&=\frac{4}{n+1}\end{align}$
(最後に $n+1 → n$ としている)
まとめ
今回は、漸化式応用のの6パターンのうち、残りの3つについて紹介しました。
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