1. コーシー・シュワルツの不等式とは
〇コーシー・シュワルツの不等式
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq(ax+by)^2$
等号成立は
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$のとき
主に、最大・最小問題にて使用することが多いです。
本記事では、コーシー・シュワルツの不等式を用いて解くことができる問題を2パターン丁寧に解説していきます。
「コーシー・シュワルツの不等式を使えるようになりたい」
「どんな時に使えるのか知りたい」
そんなみなさまにおすすめの記事となっています。
2. 二乗の和と一次式が与えられたとき
もっとも簡単にコーシー・シュワルツの不等式を用いることができる問題は
「二乗の和と一次式」が与えられる問題です。
早速例題を見ていきましょう。
2-1. 例題
$x^2+y^2=1$ のとき $3x+2y$ の最大値および最小値を求めよ。
〇考え方のポイント
$3x+2y$ がコーシー・シュワルツの不等式の右辺（$ax+by$）と形が同じ
かつ、二乗の和（$x^2+y^2=1$）が与えられている。
➡コーシー・シュワルツの不等式を使って解く
〇解答
コーシー・シュワルツの不等式を用いて
$(3^2+2^2)(x^2+y^2)\geqq(3x+2y)^2$
$x^2+y^2=1$ より
$13\geqq(3x+2y)^2$ となる
したがって
$-\sqrt{13}\leqq3x+2y\leqq\sqrt{13}$
等号成立条件は
$\begin{align}\frac{x}{3}&=\frac{y}{2}\\x&=\frac{3}{2}y…①\end{align}$
$x^2+y^2=1$ と①式より
$x=\pm\frac{3}{\sqrt{13}} y=\pm\frac{2}{\sqrt{13}}$
よって最大値は $\sqrt{13}$ 最小値は $-\sqrt{13}$ である。
3. 一次式と逆数の和が与えられたとき
ここでいう逆数の和とは、$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ のような形の式です。
一見コーシー・シュワルツの不等式には登場しないように見えますが、式の形を上手く調整することで、有効活用することができます。
それでは、例題へ進みましょう。
3-1. 例題
$x\gt0 y\gt0 4x+y=1$ のとき
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ の最小値を求めよ
〇考え方のポイント
コーシー・シュワルツの不等式中に $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ を登場させるとすると、
左辺の $x^2+y^2$ の部分になりそう。
➡つまり $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ を $(\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2$ とし、
式を調整することで、最小値を求められる。
また、$4x+y$ についても、$(2\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2$ とすることで、
左辺に導入できる。
〇解答
コーシー・シュワルツの不等式を用いると
$\begin{align}\{(2\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2\}\{(\frac{1}{\sqrt{x}})^2+(\frac{1}{\sqrt{y}})^2\}&\geqq(2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\cdot\frac{1}{\sqrt{y}})^2\\(4x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})&\geqq3^2\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}&\geqq9\end{align}$
等号成立条件は
$\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}}$ すなわち、$y=2x$ のとき
$4x+y=1$ より、$x=\frac{1}{6} y=\frac{1}{3}$ のとき
最小値9となる
まとめ
今回は、コーシー・シュワルツの不等式の概要と使い方を例題付きで解説しました。他の使い方もまだまだたくさんありますが、一歩ずつ知識をつけていきましょう。
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